点P为圆O:x2+y2=a2(a>0)上一动点,PD⊥x轴于D点,记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C. (I)求曲线C的方程; (II)若动直线l与曲线C交于A、B两点,当△OAB(O是坐标原点)面积取得最大值,且最大值为1时,求a的值. |
(Ⅰ)设P(x0,y0),M(x,y),由,得,…(2分) 代入x2+y2=a2,得 +=1.…(4分) (Ⅱ)①当l斜率不存在时,设x=t,由已知得-a<t<a, 由,得y2= 所以S△OAB=×2|y|×|x|=|t|•=≤, 当且仅当t2=a2-t2,即|t|=a时,等号成立. 此时S△OAB最大值为.…(5分) ②当l斜率存在时,设其方程为y=kx+m, 由,消去y整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-a2=0, △=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-a2)=4[4k2+a2-4m2] 由△>0,得4k2a2+a2-4m2>0① 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=②…(7分) ③ 原点到直线l距离为 d=,④…(9分) 由面积公式及③④得…(11分) 综合①②,S△OAB的最大值为,由已知得=1,所以 a=2.…(12分) |
核心考点
试题【点P为圆O:x2+y2=a2(a>0)上一动点,PD⊥x轴于D点,记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C.(I)求曲线C的方程;(II)若动直线l与曲线C交于A、】;主要考察你对
求轨迹方程等知识点的理解。
[详细]
举一反三
若函数f(x)=loga (3x-2)+1 (a>0,a≠1)的图象过定点P,点Q在曲线x2-y-2=0上运动,则线段PQ中点M轨迹方程是______. |
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两定点A(1,0)、B(0,-1),动点P(x,y)满足:=m+(m-1)(m∈R). (1)求点P的轨迹方程; (2)设点P的轨迹与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于相异两点M、N.若以MN为直径的圆经过原点,且双曲线C的离心率等于,求双曲线C的方程. |
已知F1(-1,0),F2(1,0),A(,0),动点P满足3•+•=0. (1)求动点P的轨迹方程. (2)是否存在点P,使PA成为∠F1PF2的平分线?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. |
已知平面上两个定点M、N,P为一个动点,且满足•||•||. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)若A、B是轨迹C上的两个不同动点=λ.分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设其交点为Q,证明•为定值. |
动点P到直线x=1的距离与它到点A(4,0)的距离之比为2,则P点的轨迹是( )A.中心在原点的椭圆 | B.中心在(5,0)的椭圆 | C.中心在原点的双曲线 | D.中心在(5,0)的双曲线 |
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