已知抛物线C：y=14x2-32xcosθ+94cos2θ+2sinθ（θ∈R）（I）当θ变化时，求抛物线C的顶点的轨迹E的方程；（II）已知直线l过圆x2+y - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：宿州模拟难度：来源：

已知抛物线C：y=

x2-

xcosθ+

cos2θ+2sinθ（θ∈R）
（I）当θ变化时，求抛物线C的顶点的轨迹E的方程；
（II）已知直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M，交（I）中轨迹E于A、B两点，若

，求直线l的方程．

答案

（I）将抛物线方程配方得y=

(x-3cosθ)2+2sinθ，
设抛物线的顶点为p（x₀，y₀），则

x0=3cosθ

y0=2sinθ

，消去θ得

=1．
故抛物线C的顶点P的轨迹E的方程：

=1．…（5分）
（Ⅱ）由x²+y²+4x-2y=0得圆心M（-2，1），
∵

∴M是AB的中点，易得直线l不垂直x 轴，
可设l的方程为y=k（x+2）+1，代入轨迹E的方程得：（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

36k2+18k

4+9k2

，
∵M是AB的中点，∴-

36k2+18k

4+9k2

=-4，解得k=

．
∴直线l的方程为y=

(x+2)+1，即8x-9y+25=0…（12分）

核心考点

试题【已知抛物线C：y=14x2-32xcosθ+94cos2θ+2sinθ（θ∈R）（I）当θ变化时，求抛物线C的顶点的轨迹E的方程；（II）已知直线l过圆x2+y】；主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知抛物线x²=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆E：

=1(a＞b＞0)的两个顶点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B、C两点．请问：是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，过点A作直线BC的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程．

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动点P（x，y）到点F（0，1）的距离与它到直线y+1=0的距离相等，则动点P的轨迹方程为______．

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已知圆M：（x-m）²+（y-n）²=γ²及定点N（1，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足

，

•

=0．
（Ⅰ）若m=-1，n=0，r=4，求点G的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若动圆M和（Ⅰ）中所求轨迹C相交于不同两点A、B，是否存在一组正实数m，n，r使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

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已知动点P（x，y）与两个定点M（-1，0），N（1，0）的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，对于平面上的定点E(-

，0)，F(

，0)，试探究轨迹C上是否存在点P，使得∠EPF=120°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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已知圆C：（x+1）²+y²=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）设过点C的直线l₁交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l₂交曲线E于R，T两点，且l₁⊥l₂，垂足为W．（Q，S，R，T为不同的四个点）
①设W（x_°，y_°），证明：

x°2

+y°2＜1；
②求四边形QRST的面积的最小值．

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