题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，已知椭圆C₀：，动圆C₁：．点A₁，A₂分别为C₀的左右顶点，C₁与C₀相交于A，B，C，D四点。
（1）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（2）设动圆C₂：与C₀相交于A"，B"，C"，D"四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂，若矩形ABCD与矩形A"B"C"D"的面积相等，证明：为定值。

答案

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），
则直线A₁A的方程为①
直线A₂B的方程为②
由①×②可得：③
∵A（x₁，y₁）在椭圆C₀上，
∴
∴代入③可得：
∴；
（2）证明：设A′（x₃，y₃），
∵矩形ABCD与矩形A"B"C"D"的面积相等
∴4|x₁||y₁|=4|x₃||y₃|
∴=
∵A，A′均在椭圆上，
∴=
∴=
∴
∵t₁≠t₂，
∴x₁≠x₂
∴
∴，
∴
∴=a²+b²为定值．