题目
题型:不详难度:来源:
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)当M的坐标为(0,-l)时,求过M,A,B三点的圆的标准方程,并判断直线l与此圆的位置关系;
(3)当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使MA⊥MB?若存在,有几个这样的点,若不存在,请说明理由.
答案
∴点P到直线y=-1的距离等于点P到点(0,1)的距离,
∴点P的轨迹是焦点在(0,1),准线为y=-1的抛物线,
∴点P的轨迹方程为:x2=4y.
(2)当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,
代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0,①
令△=(4k)2-4×4=0,解得k=±1,代入方程①得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),|AB|=4.
∵M到AB的中点(0,1)的距离为2,
∴过M,A,B三点的圆的标准方程为x2+(y-1)2=4.
易知圆与直线l:y=-1相切.
(3)设M(x0,-m),过M的切线方程为:y=k(x-x0)-m.
联立
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∵直线与抛物线相切,∴△=0.
即16k2-16(kx0+m)=0,整理得k2-kx0-m=0,
∴kMA+kMB=x0,kMA•kMB=-m
若MA⊥MB,则kMA•kMB=-m=-1.
即m=1时,直线l上任意一点M均有MA⊥MB;
m≠1时,MA与MB不垂直.
综上所述,当m=1时,直线l上存在无穷多个点M,使MA⊥MB,
当m≠1时,直线l上不存在满足条件的点M.
核心考点
试题【点P到x轴的距离比它到点(0,1)的距离小1,称点P的轨迹为曲线C,点M为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作曲线C的两条切线MA,MB,切点分别为A】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
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A. | B.2 | C. | D.4 |
(I)求与的值;
(II)设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点.若是的切线,求的最小值.
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