题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

答案

（1）由得
当时，，点的坐标为
，
过点的切线方程为，即，
令得，点的坐标为；
由椭圆方程得点的坐标为，
，即，
因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和．
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点，
以为直角的只有一个，
同理以为直角的只有一个；
若以为直角，设点的坐标为，则坐标分别为
由得，
关于的一元二次方程有一解，有二解，即以为直角的有二个；
因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形．

解析

考查椭圆的、抛物线的方程，图形及其简单的几何性质，直线和圆锥曲线的位置关系，运算能力，分析、解决问题的能力.