题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共13分）
　　如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB⊥x轴于点C，，动点M到直线AB的距离是它到点D的距离的2倍。
　　（I）求点M的轨迹方程；
　　（II）设点K为点M的轨迹与x轴正半轴的交点，直线l交点M的轨迹于E，F两点（E，F与点K不重合），且满足，动点P满足，求直线KP的斜率的取值范围。
　　

答案

，

解析

　解：（I）依题意知，点M的轨迹是以点D为焦点，直线AB为其相应准线，离心率为的椭圆　　2分
　　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
　　又
　　∴点D在x轴上，且，则
　　解之得：
　　∴坐标原点O为椭圆的对称中心
　　∴动点M的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　（II）设，直线EF的方程为，代入得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分
　　
　　　　　　　　　　　　 6分
　　，K点坐标为（2，0）
　　
　　
　　解得：（舍）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　设，由知，
　　直线KP的斜率为　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　当m=0时，k=0（符合题意）；
　　当时，，
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分
　　综上所述，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分