题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线的顶点在坐标原点，且开口向右，点A，B，C在抛物线上，△ABC的重心F为抛物线的焦点，直线AB的方程为。
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点M为某定点，过点M的动直线l与抛物线相交于P，Q两点，试推断是否存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由。

答案

（Ⅰ）y²＝16x
（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）设抛物线方程为，
联立消去x，得。                             （2分）
设点，则，
所以。                         （4分）
设点，因为△ABC的重心为，则
，所以。                   （5分）
因为点C在抛物线上，则，解得p＝8，此时。
故抛物线方程为y²＝16x。                                                      （6分）
（Ⅱ）设过定点M的动直线l的方程为，代入抛物线方程y²＝16x，得
，所以。                                      （8分）
若以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，则，即。
所以，即，所以.
因为，所以。                                                （10分）
所以直线l的方程为，即，从而直线l必经过定点。（11分）
若直线l的斜率不存在，因为直线与抛物线的交点为，此时仍有。故存在定点满足条件。                               （13分）