题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的

直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.

答案

x+y-2=0

解析

方法一（参数法）：设M的坐标为（x,y）.
若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为（1，1）.
若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为-，故直线CA方程为：y=k(x-2)+2,
令y=0得x=2-,则A点坐标为.
CB的方程为：y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，
则B点坐标为，由中点坐标公式得M点的坐标为
                                          ①
消去参数k得到x+y-2="0" (x≠1),
点M（1，1）在直线x+y-2=0上，
综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.
方法二 （直接法）设M（x，y），依题意A点坐标为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）.
∵|MA|=|MC|，∴化简得x+y-2=0.
方法三 （定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|,
即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.