题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的两个焦点、，直线是它的一条准线，、分别是椭圆的上、下两个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，为焦点的抛物线为，若过点的直线与相交于不同、的两点、，求线段的中点的轨迹方程．

答案

（1）（2）

解析

（Ⅰ）设椭圆方程为==1(a＞b＞0)
由题意，得c＝1，＝4 Þ  a＝2，从而b²＝3
∴椭圆的方程；
（Ⅱ）设抛物线C的方程为x²＝2py(p＞0)
由＝2 Þ  p＝4
∴抛物线方程为x²＝8y
设线段MN的中点Q(x,y)，直线l的方程为y＝kx＋1
由得，（这里△≥0恒成立），
设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)
由韦达定理，得，，
所以中点坐标为Q，
∴x＝4k,y＝4k²＋1
消去k得Q点轨迹方程为：x²＝4(y－1)