题目
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xoy中,给定三点,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线L经过的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围。
答案
圆S: ………5分
(Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分
圆S: ①
与双曲线T: ②
的内心D也是适合题设条件的点,由,解得,且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为
③
(i)当k=0时,L与圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线平行于x轴,表明L与双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。
…………8分
(ii)当时,L与圆S有两个不同的交点。这时,L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况:
情况1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率,直线L的方程为。代入方程②得,解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E;直线CD与曲线T有2个交点C、F。
故当时,L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 …………11分
情况2:直线L不经过点B和C(即),因为L与S有两个不同的交点,所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解,消去y并化简得
该方程有唯一实数解的充要条件是 ④
或 ⑤
解方程④得,解方程⑤得。
综合得直线L的斜率k的取值范围。 ………14分
解析
核心考点
试题【(本小题14分)在平面直角坐标系xoy中,给定三点,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。(Ⅰ)求点P的轨迹方程;(Ⅱ)若直线L经过的内心(】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
在平面直角坐标系中,已知动点到点的距离为,到轴的距离为,且.
(I)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)若、是(I)中上的两点,,过、分别作直线的垂线,垂足分别为、.证明:直线过定点,且为定值.
A. | B. | C. | D. |
在区间[0,1]上给定曲线,轴.
(1)当面积时,求P点的坐标。
(2)试在此区间确定的值,使的值最小,并求出最小值。
的内切圆与三边的切点分别为,已知,内切圆圆心,设点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)过点的动直线交曲线于不同的两点(点在轴的上方),问在轴上是否存在一定点(不与重合),使恒成立,若存在,试求出点的坐标;若不存在,说明理由.
已知动圆过定点,且与定直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)若是轨迹的动弦,且过, 分别以、为切点作轨迹的切线,设两切线交点为,证明:.
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