题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆的方程；
（II）设抛物线：的焦点为F，过F点的直线交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线交于Q点，且Q点在椭圆上，求面积的最值，并求出取得最值时的抛物线的方程。

答案

（I）
（II） 

解析

本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与抛物线和椭圆的位置关系的综合运用。运用代数的手段来求解解析几何是解析几何的本质。
（1）由题意得结合性质得到参数a,b的值，从而得到椭圆的方程。
（2）先设点令  则抛物线在点A处的切线斜率为，然后结合导数的几何意义得到切线方程，求解点的坐标，进而表示三角形的面积。得到抛物线方程。
（I）由题意得所求的椭圆方程为
（II）令  则抛物线在点A处的切线斜率为
所以切线AQ方程为:
同理可得BQ方程为:
联立解得Q点为…………8分
焦点F坐标为(0, ), 令l方程为:  代入：
得:      由韦达定理有： 所以Q点为 过Q做y轴平行线交AB于M点， 则 
M点为, ,
……..12分
而Q点在椭圆上,