题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的离心率，A，B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过(-1,0)的直线交椭圆于P,Q两点,求△POQ面积最大时直线的方程.

答案

解：（Ⅰ）椭圆的方程为.
（Ⅱ）当直线的方程为时，面积最大.

解析

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键。
（Ⅰ）根据离心率为e和向量的坐标，建立方程组，求得椭圆的基本量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）方法一：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去y，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论．方法二：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去x，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论．