题目
题型:不详难度:来源:
双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)设,,
由勾股定理可得:
得:,,
由倍角公式,解得,则离心率.
(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立
将,代入,
化简有
将数值代入,有,解得
故所求的双曲线方程为.
解法二:解:(Ⅰ)设双曲线方程为(a>0,b>0),右焦点为F(c,0)(c>0),则c2=a2+b2
不妨设l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0
则 ,
因为2+2=2,且=2-,
所以2+2=(2-)2,
于是得tan∠AOB=。
又与同向,故∠AOF=∠AOB,
所以
解得 tan∠AOF=,或tan∠AOF=-2(舍去)。
因此
所以双曲线的离心率e==
(Ⅱ)由a=2b知,双曲线的方程可化为
x2-4y2=4b2 ①
由l1的斜率为,c=b知,直线AB的方程为
y=-2(x-b) ②
将②代入①并化简,得
15x2-32bx+84b2=0
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
x1+x2=,x1·x2= ③
AB被双曲线所截得的线段长
l= ④
将③代入④,并化简得l=,而由已知l=4,故b=3,a=6
所以双曲线的方程为
点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理。弦长问题,往往利用弦长公式,通过整体代换,简化解题过程。
核心考点
试题【(本题满分12分)双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.(Ⅰ)求双曲线的离心率;(Ⅱ)】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交A,B且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A、B是椭圆E上两个动点,().求证:直线AB的斜率为定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
A. | B. | C. | D. |
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