题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)拖动点,发现当时,,试求抛物线的方程;
(Ⅱ)设抛物线的顶点为,焦点为,构造直线交抛物线于不同两点、,构造直线、分别交准线于、两点,构造直线、.经观察得:沿着抛物线,无论怎样拖动点,恒有.请你证明这一结论.
(Ⅲ)为进一步研究该抛物线的性质,某同学进行了下面的尝试:在(Ⅱ)中,把“焦点”改变为其它“定点”,其余条件不变,发现“与不再平行”.是否可以适当更改(Ⅱ)中的其它条件,使得仍有“”成立?如果可以,请写出相应的正确命题;否则,说明理由.
答案
(Ⅱ)设出直线方程,点的坐标,联立方程组证明,所以
(Ⅲ)设抛物线的顶点为,定点,过点的直线与抛物线相交于、两点,直线、分别交直线于、两点,则
解析
试题分析:解法一:(Ⅰ)把,代入,得, 2分
所以, 3分
因此,抛物线的方程. 4分
(Ⅱ)因为抛物线的焦点为,设,
依题意可设直线,
由得,则 ① 6分
又因为,,所以,,
所以,, 7分
又因为 8分
, ②
把①代入②,得, 10分
即,
所以,
又因为、、、四点不共线,所以. 11分
(Ⅲ)设抛物线的顶点为,定点,过点的直线与抛物线相交于、两点,直线、分别交直线于、两点,则 . 14分
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因为抛物线的焦点为,设, 5分
依题意,可设直线,
由得,
则
所以 7分
又因为,,
所以,, 10分
所以,,
又因为、、、四点不共线,所以. 11分
(Ⅲ)同解法一. 14分
解法三:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因为抛物线的焦点为,设,
依题意,设直线,
由得,则, 6分
又因为,,所以,,
又因为, 9分
所以,所以平行于轴;
同理可证平行于轴;
又因为、、、四点不共线,所以. 11分
(Ⅲ)同解法一. 14分
点评:圆锥曲线问题在高考中每年必考,且一般出在压轴题的位置上,难度较低,主要考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等。
核心考点
试题【某同学用《几何画板》研究抛物线的性质:打开《几何画板》软件,绘制某抛物线,在抛物线上任意画一个点,度量点的坐标,如图.(Ⅰ)拖动点,发现当时,,试求抛物线的方程】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.2 | B. | C. | D. |
点、,过点作直线交曲线于两个不同的点、(点在与之间).
(1)求曲线的方程;
(2)是否存在直线,使得,并说明理由.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
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