题目

题型：不详难度：来源：

已知直线过定点，动点满足，动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直线与交于两点，以为切点分别作的切线，两切线交于点.
①求证：；②若直线与交于两点，求四边形面积的最大值.

答案

(1) (2) 根据直线斜率互为负倒数来得到证明，当且仅当时，四边形面积的取到最小值。

解析

试题分析：（I）由题意知，设
化简得     3分
（Ⅱ）①设，，
由消去，得，显然.
所以， 
由，得，所以，
所以，以为切点的切线的斜率为，
所以，以为切点的切线方程为，又，
所以，以为切点的切线方程为……（1）
同理，以为切点的切线方程为……（2）
（2）-（1）并据得点的横坐标，
代入（1）易得点的纵坐标，所以点的坐标为
当时，显然
当时，，从而   8分
②由已知，显然直线的斜率不为0，由①知，所以，
则直线的方程为，
设设，，
由消去，得，显然，
所以，.
又


 
因为，所以，
所以，，
当且仅当时，四边形面积的取到最小值    13分
点评：解决的关键是借助于向量的模来表示得到轨迹方程，并联立方程组来得到弦长公式，进而得到面积的表示，属于中档题。