题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）（2）点就是所求的点

解析

试题分析：（Ⅰ）椭圆的两焦点与短轴的一个端点连线构成等腰直角三角形，所以，故椭圆的方程为．
又因为椭圆经过点，代入可得，2分
所以，故所求椭圆方程为．4分
（Ⅱ）当直线的斜率为0时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为； 
当直线的斜率不存在时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为，
由解得
即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是．8分
事实上，点就是所求的点．
证明如下：
当的斜率不存在时，以为直径的圆过点．9分
若的斜率存在时，可设直线为，
由消去得．
记点、，则    10分
又因为，
所以
．
所以，即以为直径的圆恒过点，12分
所以在坐标平面上存在一个定点满足条件．13分
点评：主要是考查了解析几何中运用代数的方法来建立方程组结合韦达定理来研究位置关系的运用，属于中档题。