题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点,试问在轴上是否存在定点,使恒为定值?若存在,求出点的坐标及定值;若不存在,说明理由。
答案
解析
试题分析:(I)由题意知c=,4a=8,∴a=2,b=1
∴椭圆的方程为。
(II)当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1)
由消去y得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则由韦达定理得x1+x2=,x1x2=
则=(m-x1,-y1),=(m-x2,-y2)
∴·=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
==
要使上式为定值须=4,解得m=,∴为定值
当直线l的斜率不存在时P(1,),Q(1,-)由E(,0)可得
=(,-),
=(,)∴=
综上所述当时,为定值。
点评:难题,求椭圆的标准方程,主要运用了椭圆的几何性质,注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题(2)推理直线斜率的两种情况,易于出现遗漏现象。
核心考点
试题【已知椭圆的两个焦点,,过且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于两点,如果的周长等于8。(1)求椭圆的方程;(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点,试问在轴上是否存在定点】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D.或 |
(1)求抛物线的方程和点、的坐标;
(2)设A,B是抛物线C上两动点,如果直线,与轴分别交于点. 是以,为腰的等腰三角形,探究直线AB的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.
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