题目
题型:不详难度:来源:
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与曲线E相交于第一象限点P,且,求曲线E的标准方程;
(3)在(1)、(2)的条件下,直线与椭圆E相交于A,B两点,若AB的中点M在曲线C上,求直线的斜率的取值范围。
答案
解析
试题分析:(1)设动圆圆心的坐标为(x,y)(x>0),由动圆在y轴右侧与y轴相切,同时与圆F2相外切,知|CF2|-x=1,由此能求出曲线C的方程.
(2)依题意,c=1,|PF1|=,得xp=,由此能求出曲线E的标准方程.
(3)设直线l与椭圆E交点A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中点M的坐标为(x0,y0),将A,B的坐标代入椭圆方程中,得3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0,由此能够求出直线l的斜率k的取值范围
解:(1)设动圆圆心的坐标为(x,y)(x>0)
因为动圆在y轴右侧与y轴相切,同时与圆F2相外切,
所以|CF2|-x=1,…(1分)
∴(x-1)2+y2=x+1化简整理得y2=4x,曲线C的方程为y2=4x(x>0); …(3分)(2)依题意,c=1,|PF1|=,得xp=,…(4分)∴|PF2|=,又由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2.…(5分)∴b2=a2-c2=3,所以曲线E的标准方程为
=1.…(6分)(3)设直线l与椭圆E交点A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中点M的坐标为(x0,y0),将A,B的坐标代入椭圆方程中,得3x12+4y12-12=0,3x22+4y22-12=0两式相减得3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0,∴=-,…(7分)∵y02=4x0,∴直线AB的斜率k==-y0,…(8分)由(2)知xp=,∴yp2=4xp=,∴yp=±由题设-<y0< (y0≠0),∴-<-y0<,…(10分)即-<k<(k≠0).…(12分)
点评:本题考查曲线方程的求法,考查直线的斜率的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意点差法和等价转化思想的合理运用.
核心考点
试题【已知,,圆,一动圆在轴右侧与轴相切,同时与圆相外切,此动圆的圆心轨迹为曲线C,曲线E是以,为焦点的椭圆。(1)求曲线C的方程;(2)设曲线C与曲线E相交于第一象】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B.2 | C. | D.3 |
(I)求动点P所在曲线C的方程。
(II)设直线与曲线C交于不同的两点M、N,当OM⊥ON时,求点O到直线的距离。(O为坐标原点)
A. | B. | C. | D. |
(1)求的直角坐标方程;
(2)直线(为参数)与曲线C交于,两点,与轴交于,求的值.
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