题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率，一条准线方程为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若以＞0)为斜率的直线与椭圆相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。

答案

（1）；（2）

解析

试题分析：（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为.应用待定系数求得椭圆的标准方程.
（2）假设直线（）方程.其中有两个参数.联立椭圆方程.消去即可得一个关于的二次方程.首先由二次方程根的判别式大于零可得一个关于的不等的关系式.其次由韦达定理写出两个根与的关系式.写出线段的中垂线的方程.从而可得中垂线与两坐标轴的截距.再写出垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积，依题意即可得一个关于的等式.由这两步消去.即可得的取值范围.
试题解析：（1）由已知设椭圆的标准方程为，　　＞＞0）
由题设得解得　，

所以椭圆的标准方程为       4分
（2）由题意设直线的方程为　　　（＞0）
由　消去得　　①
设　　则，＝
线段的中点坐标满足　　
　　
从而线段的垂直平分线的方程为
此直线与轴，轴的交点坐标分别为、
由题设可得　整理得　　（＞0）　　②
由题意在①中有　＞0　　整理得＞0
将②代入得　　＞0　（＞0），
　即　＞0，　＜0，即＜0
∴＜＜4　　　　所以的取值范围是。     12分