题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线，直线与E交于A、B两点，且，其中O为原点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）点C坐标为，记直线CA、CB的斜率分别为，证明：为定值.

答案

（1）；（2）证明过程详见解析.

解析

试题分析：本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，将直线与抛物线方程联立，消去参数，得到关于的方程，得到两根之和两根之积，设出点的坐标，代入到中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得出的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先利用点的坐标得出直线的斜率，再根据抛物线方程转化参数，得到和的关系式，代入到所求证的式子中，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得出常数即可.
试题解析：（Ⅰ）将代入，得．    2分
其中
设，，则
，．          4分
．
由已知，，．
所以抛物线的方程．          6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
，同理，     10分
所以．    12分