题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)点在椭圆上,将其代入椭圆方程,又因为,且,解方程组可得。(Ⅱ)点在直线上,则可得。当直线的斜率存在时设斜率为,得到直线方程,联立方程消掉得关于的一元二次方程。再根据韦达定理可得根与系数的关系。因为为中点,根据点的横坐标解得。因为故可得直线的斜率,及其含参数的方程。分析可得直线是否恒过定点。注意还要再讨论当直线的斜率不存在的情况。
试题解析:解:(Ⅰ)因为点在椭圆上,所以,
所以, 1分
因为椭圆的离心率为,所以,即, 2分
解得, 4分
所以椭圆的方程为. 5分
(Ⅱ)设,,
①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,
由得, 7分
所以, 8分
因为为中点,所以,即.
所以, 9分
因为直线,所以,
所以直线的方程为,即 ,
显然直线恒过定点. 11分
②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时直线为轴,也过点. 13分
综上所述直线恒过定点. 14分
核心考点
试题【已知椭圆:()过点,且椭圆的离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.证明:直线恒过定点,并求出该定点】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设交于点,
证明:当点在椭圆上移动时,点在某定直线上.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点,设点A关于x轴的
对称点为A1.求证:直线A1B过x轴上一定点,并求出此定点坐标.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为、,过点的动直线与椭圆相交于、两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上.
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