题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设交于点,
证明:当点在椭圆上移动时,点在某定直线上.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)由抛物线的焦点求出椭圆的焦点,又椭圆过点,得:,
且,,解方程组可得椭圆的方程:
(Ⅱ)设出切点的坐标和切线的方程,利用直线和椭圆相切的条件,证明为定值.
(III)利用(Ⅱ)的结果,由,写出直线的方程,可解出交于点
的坐标,进而证明当点在椭圆上移动时,点在某定直线上.
试题解析:(Ⅰ)由题意得 ,
又, 2分
消去可得,,解得或(舍去),则,
求椭圆的方程为. 4分
(Ⅱ)设直线方程为,并设点,
由.
, 6分
,当时,直线与椭圆相交,所以,,
由得,, 8分
,整理得:.而,代入中得
为定值. 10分
(用导数求解也可,若直接用切线公式扣4分,只得2分)
(III)的斜率为:,又由,
从而得直线的方程为:,联立方程,
消去得方程,因为, 所以 ,
即点在直线上. 14分
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,已知分别是椭圆的左、右焦点,椭圆与抛物线有一个公共的焦点,且过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点,设点A关于x轴的
对称点为A1.求证:直线A1B过x轴上一定点,并求出此定点坐标.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为、,过点的动直线与椭圆相交于、两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点、,且线段恰被直线平分?若存在,求出的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.
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