题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点,设点A关于x轴的
对称点为A1.求证:直线A1B过x轴上一定点,并求出此定点坐标.
答案
解析
试题分析:(1)求椭圆C的方程,由题意,焦点坐标为,可求得,再根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.由等边三角形的性质,可求得和的关系式,可求得,进而求得,则椭圆的方程可得;(2)求证:直线过轴上一定点,并求出此定点坐标.这是过定点问题,这类题的处理方法有两种,一.可设出直线方程为,然后利用条件建立等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.二.从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.本题可设直线的方程为:,与椭圆方程联立消去,设出,,则可利用韦达定理求得和的表达式,根据点坐标求得关于轴对称的点的坐标,设出定点,利用求得,从而得证.
试题解析:(1)椭圆C:的一个焦点是(1,0),所以半焦距,又因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,所以,解得,所以椭圆C的标准方程为;· 5分
(2)设直线:与联立并消去得:
.
记,,,
. 8分
由A关于轴的对称点为,得,根据题设条件设定点为(,0),
得,即.
所以
即定点(1,0). 13分
核心考点
试题【已知椭圆C:的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆C的方程;(2)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为、,过点的动直线与椭圆相交于、两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点、,且线段恰被直线平分?若存在,求出的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.
A.椭圆 | B.双曲线 | C.抛物线 | D.圆 |
(1)若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;
(2)设,过点的直线与曲线交于,两点,为坐标原点,若为直角,求直线的斜率.
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