题目
题型:不详难度:来源:
(1)问:直线与能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;
(2)已知为的中点,且点在椭圆上.若,求椭圆的离心率.
答案
解析
试题分析:(1)设直线的方程为,与椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程,因为有两个交点则判别式应大于0,由韦达定理可得根与系数的关系,用中点坐标公式求点的坐标。求出直线的斜率,假设两直线垂直则斜率相乘等于,解出的关系式,根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
∵,∴四边形OANB为矩形,∴,转化为向量问题,可得的关系式。由中点坐标公式可得点的坐标,将其代入椭圆方程,与上式联立消去即可得之间满足的关系式。将代入之间的关系式,可求其离心率。
试题解析:解答:(1)∵斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,
∴可以设直线的方程为.
∵,∴,
∴. ① 1分
∵直线与椭圆相交于两点,∴
. ② 2分
且. ③ 3分
∵为线段的中点,∴,
∴,∴. 4分
假设直线与能垂直.
∵直线的斜率为1,∴直线的斜率为-1,
∴,∴. 5分
∵在椭圆方程中,,
∴假设不正确,在椭圆中直线与不能垂直. 6分
(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
∵,∴四边形OANB为矩形,∴, 7分
∴,∴,∴,
∴,
∴,整理得. 8分
∵点在椭圆上,∴,∴. 9分
此时,满足,
消去得,即. 10分
设椭圆的离心率为e,则,∴,
∴,∴,
∴,∵,∴.
核心考点
试题【设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.(1)问:直线与能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;(2)已知为】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)问:直线与能否垂直?若能,求之间满足的关系式;若不能,说明理由;
(2)已知为的中点,且点在椭圆上.若,求之间满足的关系式.
(1)求证:直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上;
(2)若点N是直线l:y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T.是否存在点N,使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)若线段中点的横坐标等于,求直线的斜率;
(2)设点关于轴的对称点为,求证:直线过定点.
(1)若所在的直线方程为,求的长;
(2)设为线段上一点,且,当中点恰为点时,判断的面积是否为常数,并说明理由.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,且,求的面积.
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