题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程;
(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
答案
解析
∴a=2,c=.故椭圆的方程为+x2=1.
(2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,
由m·n=0,得=0⇒.
又A(x1,y1)在椭圆上,所以=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1.
②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b(其中b≠0),代入+x2=1,得
(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.
有Δ=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)=16(k2-b2+4)>0,x1+x2=,x1x2=,由已知m·n=0得x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,代入Δ中可得b2>0满足题意,
∴S=|AB|=|b| ===1.所以△ABC的面积为定值.
核心考点
试题【设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:=1(a>b>0)上两点,已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,A为椭圆的右顶点,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′,求证: k·k′为定值.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值;
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证:.
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