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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆C=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线lxy=0与以原点为圆心, 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MAMB交椭圆于AB两点,设两直线的斜率分别为k1k2,且k1k2=4,证明:直线AB过定点.
答案
(1)y2=1.(2)见解析
解析
(1)∵等轴双曲线离心率为,∴椭圆C的离心率e.
e2,∴a2=2b2.
∵由xy=0与圆x2y2b2相切,得
b=1,∴a2=2.
∴椭圆C的方程为y2=1.
(2)证明 ①若直线AB的斜率不存在,设方程为xx0,则点A(x0y0),B(x0,-y0).
由已知=4,得x0=-.
此时AB方程为x=-,显然过点.
②若直线AB的斜率存在,设AB方程为ykxm,依题意m≠±1.
A(x1y1),B(x2y2),由
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
x1x2=-x1x2.
由已知k1k2=4,可得=4,
=4,即2k+(m-1) =4,将x1x2x1x2代入得k=2,∴k=2(m+1),
m-1.故直线AB的方程为ykx-1,
yk-1.
∴直线AB过定点.
综上,直线AB过定点.
核心考点
试题【已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+=0与以原点为圆心, 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.(1】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C=1(a>b>0)的两个焦点F1F2和上下两个顶点B1B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于EF两点,A为椭圆的右顶点,直线AEAF分别交直线x=3于点MN,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′,求证: k·k′为定值.
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已知点为双曲线的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且.圆的方程是
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为,求的值;
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线两点,中点为,求证:
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已知椭圆,过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线,分别交椭圆两点.则直线的斜率为          .
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已知双曲线(其中).
(1)若定点到双曲线上的点的最近距离为,求的值;
(2)若过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线交双曲线于两点,其中是双曲线的右焦点.求△的面积.
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椭圆C的焦点在轴上,焦距为2,直线n:x-y-1=0与椭圆C交于A、B两点,F1是左焦点,且,则椭圆C的标准方程是        
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