题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.
答案
解析
∴e2==,∴a2=2b2.
∵由x-y+=0与圆x2+y2=b2相切,得
b=1,∴a2=2.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明 ①若直线AB的斜率不存在,设方程为x=x0,则点A(x0,y0),B(x0,-y0).
由已知=4,得x0=-.
此时AB方程为x=-,显然过点.
②若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m≠±1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
则x1+x2=-,x1x2=.
由已知k1+k2=4,可得+=4,
∴+=4,即2k+(m-1) =4,将x1+x2,x1x2代入得k-=2,∴k=2(m+1),
∴m=-1.故直线AB的方程为y=kx+-1,
即y=k-1.
∴直线AB过定点.
综上,直线AB过定点.
核心考点
试题【已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+=0与以原点为圆心, 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.(1】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,A为椭圆的右顶点,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′,求证: k·k′为定值.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值;
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证:.
(1)若定点到双曲线上的点的最近距离为,求的值;
(2)若过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线交双曲线于、两点,其中,是双曲线的右焦点.求△的面积.
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