题目
题型:不详难度:来源:
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值;
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证:.
答案
解析
试题分析:(1)从双曲线方程中发现只有一个参数,因此我们只要找一个关系式就可求解,而这个关系式在中,,,,通过直角三角形的关系就可求得;(2)由(1)知双曲线的渐近线为,这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角,因此过双曲线上的点作该双曲线两条渐近线的垂线,为锐角,这样这题我们只要认真计算,设点坐标为,由点到直线距离公式求出距离,利用两条直线夹角公式求出,从而得到向量的数量积;(3)首先 等价于,因此设,我们只要证,而可以由切线的方程与双曲线方程联立方程组得到,再借助切线方程得到,验证下是否有,注意上述情形是在时进行的,而时,切线为或,直接验证即可.
试题解析:(1)设的坐标分别为
因为点在双曲线上,所以,即,所以
在中,,,所以 2分
由双曲线的定义可知:
故双曲线的方程为: 4分
(2)由条件可知:两条渐近线分别为 5分
设双曲线上的点,设两渐近线的夹角为,则
则点到两条渐近线的距离分别为 7分
因为在双曲线:上,所以
又,
所以 10分
(3)由题意,即证:。
设,切线的方程为: 11分
①当时,切线的方程代入双曲线中,化简得:
所以:
又 13分
所以 15分
②当时,易知上述结论也成立. 所以 16分
综上,,所以.
核心考点
试题【已知点、为双曲线:的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且.圆的方程是.(1)求双曲线的方程;(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若定点到双曲线上的点的最近距离为,求的值;
(2)若过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线交双曲线于、两点,其中,是双曲线的右焦点.求△的面积.
(1)求点P的坐标(x,y)满足的方程(不要求写出变量的取值范围);
(2)过双曲线的左焦点F1,作倾斜角为的直线m交双曲线于M、N两点,期中,F2是双曲线的右焦点,求△F2MN的面积S关于倾斜角的表达式。
(1)求双曲线的方程;
(2)用表示点的坐标;
(3)若,的中垂线交轴于点,直线交轴于点,求的面积的取值范围.
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