题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F₁，F₂和上下两个顶点B₁，B₂是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为60°的菱形的四个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F₂的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′，求证： k·k′为定值．

答案

（1）＝1（2）－

解析

(1)解　由条件知a＝2，b＝，故所求椭圆方程为＝1.
(2)证明　设过点F₂(1,0)的直线l方程为：y＝k(x－1)，设点E(x₁，y₁)，点F(x₂，y₂)，将直线l方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程＝1，整理得：(4k²＋3)x²－8k²x＋4k²－12＝0，因为点F₂在椭圆内，所以直线l和椭圆相交，Δ>0恒成立，且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
直线AE的方程为：y＝(x－2)，直线AF的方程为：y＝(x－2)，令x＝3得点M，N，∴点P坐标为，
直线PF₂的斜率为k′＝＝＝·.
将x₁＋x₂＝，x₁x₂＝代入上式得：
k′＝＝.
所以k·k′为定值－.