题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆M：＝1(a＞b＞0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l：x＝my＋t与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求t的值．

答案

（1）＋y²＝1（2）t＝或t＝3

解析

(1)由题意，可得2a＋2c＝6＋4，即a＋c＝3＋2，
因为b＝1，所以b²＝a²－c²＝1，a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，所以椭圆M的方程为＋y²＝1.
(2)由消去x得(m²＋9)y²＋2mty＋t²－9＝0.
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝.①
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(3,0)，所以·＝0.
由＝(x₁－3，y₁)，＝(x₂－3，y₂)得(x₁－3)(x₂－3)＋y₁y₂＝0.
将x₁＝my₁＋t，x₂＝my₂＋t代入上式，
得(m²＋1)y₁y₂＋m(t－3)(y₁＋y₂)＋(t－3)²＝0，
将①代入上式，解得t＝或t＝3.