题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P，离心率是.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l过点E (－1,0)且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|＝2|EB|，求直线l的方程．

答案

（1）＋y²＝1（2）x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0.

解析

(1)设椭圆C的标准方程为＝1(a＞b＞0)．由已知可得，
解得a²＝4，b²＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y²＝1.
(2)由已知，若直线l的斜率不存在，则过点E(－1,0)的直线l的方程为x＝－1，此时令A，B，显然|EA|＝2|EB|不成立．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x＋1)．则，
整理得(4k²＋1)x²＋8k²x＋4k²－4＝0.
由Δ＝(8k²)²－4(4k²＋1)(4k²－4)＝48k²＋16＞0.
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
故x₁＋x₂＝－，①x₁x₂＝.②
因为|EA|＝2|EB|，即x₁＋2x₂＝－3.③
①②③联立解得k＝±.
所以直线l的方程为x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0