题目

题型：不详难度：来源：

(2013·上海高考)如图,已知双曲线C₁：-y²=1,曲线C₂：|y|=|x|+1.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C₁,C₂都有共同点,则称P为“C₁-C₂型点”.

(1)在正确证明C₁的左焦点是“C₁-C₂型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证).
(2)设直线y=kx与C₂有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C₁-C₂型点”.
(3)求证：圆x²+y²=内的点都不是“C₁-C₂型点”.

答案

（1）x=-或y=k(x+),其中|k|≥.
（2）见解析     （3）见解析

解析

(1)C₁的左焦点为(-,0),写出的直线方程可以是以下形式：
x=-或y=k(x+),其中|k|≥.
(2)因为直线y=kx与C₂有公共点,
所以方程组有实数解,
因此|kx|=|x|+1,得|k|=>1.
若原点是“C₁-C₂型点”,则存在过原点的直线与C₁,C₂都有公共点.
考虑过原点与C₂有公共点的直线x=0或y=kx(|k|>1).显然直线x=0与C₁无公共点.
如果直线为y=kx(|k|>1),
则由方程组得x²=<0,矛盾,
所以直线y=kx(|k|>1)与C₁也无公共点.
因此原点不是“C₁-C₂型点”.
(3)记圆O：x²+y²=,取圆O内的一点Q,
设有经过Q的直线l与C₁,C₂都有公共点,
显然l不垂直于x轴,故可设l：y=kx+b.
若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间,
因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与C₂无公共点,矛盾,所以|k|>1.
因为l与C₁有公共点,所以方程组有实数解,得(1-2k²)x²-4kbx-2b²-2=0.
因为|k|>1,所以1-2k²≠0,
因此Δ=(4kb)²-4(1-2k²)(-2b²-2)=8(b²+1-2k²)≥0,即b²≥2k²-1.
因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=,
所以=d²<,从而>b²≥2k²-1,
得k²<1,与|k|>1矛盾.
因此,圆x²+y²=内的点都不是“C₁-C₂型点”.