题目
题型:不详难度:来源:
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP"Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
答案
(2)见解析
解析
左焦点F1(﹣c,0),将横坐标﹣c代入椭圆方程,得y=,
所以①,②,a2=b2+c2③,联立①②③解得a=4,,
所以椭圆方程为:;
(2)设Q(t,0)(t>0),圆的半径为r,直线PP′方程为:x=m(m>t),
则圆Q的方程为:(x﹣t)2+y2=r2,
由得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0,
由△=0,即16t2﹣4(2t2+16﹣2r2)=0,得t2+r2=8,①
把x=m代入,得,
所以点P坐标为(m,),代入(x﹣t)2+y2=r2,得,②
由①②消掉r2得4t2﹣4mt+m2=0,即m=2t,
=×(m﹣t)==≤×=2,
当且仅当4﹣t2=t2即t=时取等号,
此时t+r=+<4,椭圆上除P、P′外的点在圆Q外,
所以△PP"Q的面积S的最大值为,圆Q的标准方程为:.
当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时,由对称性可得圆Q的方程为,△PP"Q的面积S的最大值仍为为.
核心考点
试题【如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
过点向其准线作垂线,记与抛物线的交点为,则_____.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)问是否存在过左焦点的直线,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
A. | B. | C. | D. |
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