题目

题型：武汉模拟难度：来源：

已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y²=2px（p＞0）于P，Q两点，若

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

为定值，则a=（　　）

A． 2 p

B．2p

C． 1 2 p

D．p

答案

设直线PQ的参数方程为x=a+tcosα，y=tsinα
则P，Q点的坐标分别为：（a+t₁cosα，t₁sinα），（a+t₂cosα，t₂sinα），
∴|MP|²=（a+t₁cosα-a）²+（t₁sinα）²=t₁²cos²α+t₁²sin²α=t₁²
|MQ|²=（a+t₂cosα-a）²+（t₂sinα）²=t₂²cos²α+t₂²sin²α=t₂²
又∵P，Q在抛物线y²=2px，
∴（t₁sinα）²=2p（a+t₁cosα）
（t₂sinα）²=2p（a+t₂cosα）
∴sin²αt₁²-2pcosαt₁-2pa=0
sin²αt₂²-2pcosαt₂-2pa=0
∴t₁，t₂是方程sin²αt²-2pcosαt-2pa=0的两根，
∴t₁+t₂=

2pcosα

sin2α

，t₁•t₂=-

2pa

sin2α

t₁²+t₂²=（t₁+t₂）²-2t₁t₂=

4(p2cos2α +pasin2α)

sin4α

∵

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

=

1

t12

+

1

t22

=

t1+t2

(t1•t2)2

=

4(p2cos2α+pasin2α) sin4α

( 2pa sin2α )2

=

pcos2α+asin2α

pa2

为定植，∴a=p

故选D