题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为时,,求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
由得,则
所以
因此直线MA的方程为直线MB的方程为
所以 ①; ②
由①-②得,而,因此
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
(2)解:由(1)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:
所以 x1、x2是方程的两根,
因此 又 所以
由弦长公式得:
又,所以p=1或p=2,
因此所求抛物线方程为或
(3)解:设,由题意得
则CD的中点坐标为
设直线AB的方程为
由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上,
代入得
若在抛物线上,则
因此 x3=0或x3=2x0.即D(0,0)或
(1)当x0=0时,则,此时,点M适合题意.
(2)当,对于D(0,0),此时
又AB⊥CD,所以
即矛盾.
对于因为此时直线CD平行于y轴,又
所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,
所以时,不存在符合题意的M点.
综上所述,仅存在一点M适合题意.
解析
核心考点
试题【如图,设抛物线方程为直线上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B。(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M点的坐标为时,,求此时抛物】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.-2 | B.2 | C.-4 | D.4 |
A. | B. | C. | D. |
A.或 | B. |
C.或 | D.或 |
如图,过抛物线上一点P(),作两条直线分别交抛物线于A(),B().直线PA与PB的斜率存在且互为相反数,(1)求的值,(2)证明直线AB的斜率是非零常数.
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