题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）
如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；（4分）
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．（4分

答案

（1）略
（2）略
（3）；

解析

（1）如图，在上取点，使，连结， 
，则，．
因为，，所以四边形，都为平行四边形．
从而，．
又因为，所以，故四边形是平行四边形，
由此推知，从而．
因此，四点共面．
（2）如图，，又，所以，
．
因为，所以为平行四边形，从而．
又平面，所以平面．
（3）如图，连结
因为，，
所以平面，得．
于是是所求的二面角的平面角，即．
因为，所以
，
．
解法二：
（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．
又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，
而，由题设得，
得．
因为，，有，
又，，所以，
，从而，．
故平面．
（3）设向量截面，
于是，．
而，，得，
，解得，，所以．
又平面，
所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是．
故．