题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式
(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图3,抛物线上是否存在一点,过点作轴的垂线,垂足为,过点作直线,交线段于点,连接,使~,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
图1 图2 图3
答案
(2)如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称,
在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为:y=kx+b(k≠0),
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线,得
∴点E坐标为(2,3)
又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y=0时,,∴x=-1或x=3
当x=0时,y=-1+4=3,
∴点A(-1,0),点B(3,0),点D(0,3)
又∵抛物线的对称轴为:直线x=1,
∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE…………………②
分别将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得:
解得:
过A、E两点的一次函数解析式为:y=x+1
∴当x=0时,y=1
∴点F坐标为(0,1)
∴=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称,
∴点I坐标为(0,-1)
∴………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,
∴只要使DG+GH+HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③,可知,
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小
设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为:,
分别将点E(2,3)、点I(0,-1)代入,得:
解得:
过I、E两点的一次函数解析式为:y=2x-1
∴当x=1时,y=1;当y=0时,x=;
∴点G坐标为(1,1),点H坐标为(,0)
∴四边形DFHG的周长最小为:DF+DG+GH+HF=DF+EI
由③和④,可知:
DF+EI=
∴四边形DFHG的周长最小为。
(3)如图7,
由题意可知,∠NMD=∠MDB,
要使,△DNM∽△BMD,只要使即可,
即:………………………………⑤
设点M的坐标为(a,0),由MN∥BD,可得
△AMN∽△ABD,
∴
再由(1)、(2)可知,AM=1+a,BD=,AB=4
∴
∵,
∴⑤式可写成:
解得 或(不合题意,舍去)∴点M的坐标为(,0)
又∵点T在抛物线图像上,
∴当x=时,y= ∴点T的坐标为(,).
解析
核心考点
试题【(本题11分)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
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