题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与轴交于点C。
（1）证明：；
（2）求的最大值，并求取得最大值时线段AB的长。

答案

解：
（Ⅰ）由题设知，F(，0)，C(－，0)，
设A(x­₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直线l方程为x＝my＋，
代入抛物线方程y²＝2px，得y²－2pmy－p²＝0．
y₁＋y₂＝2pm，y₁y₂＝－p²．                                    …4分
不妨设y₁＞0，y₂＜0，则∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．                    …8分此时∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，
并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．                     …12分

解析

本题以直线和抛物线的位置关系为背景考查角的证明以及最值问题，考查学生的计算能力和转化能力，第一问可通过直线和方程联立，借助韦达定理和计算角的正切值进行证明；第二问借助第一问的结论，借助均值不等式进行求解最值.