题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

答案

（I）圆C的方程为
（II）的最大值为，最小值为

解析

解法一:设A、B两点坐标分别为，由题设知
解得

所以
设圆心C的坐标为（r,0），则因此圆C的方程为
  4分
解法二：设A、B两点坐标分别为由题设知
.
又因为即

由x₁＞0，x₂＞0，可知x₁=x₂，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.
设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为，于是有，解得r=4,所以圆C的方程为
  4分
(Ⅱ)解：设∠ECF=2a,则
.    8分
在Rt△PCE中,.由圆的几何性质得
≤≥  10分
所以≤≤，由此可得
≤≤.
故的最大值为，最小值为.  14分