题目
题型:不详难度:来源:
(1)求该抛物线的标准方程.
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与轴交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
答案
解析
试题分析:(1)确定抛物线的标准方程,关键是确定的值.利用,可得,
再根据P、Q在抛物线上,得到,集合已知条件,得4p2=4,p=1.
(2)设直线PQ过点,且方程为,应用联立方程组
消去x得y2 2my 2a=0,利用韦达定理,建立的方程组,确定得到,利用“弦长公式”求解.
试题解析: (1)∵ ·=0,则x1x2+y1y2=0, 1分
又P、Q在抛物线上,故y12=2px1,y22=2px2,故得
+y1y2=0, y1y2= 4p2
3分
又|x1x2|=4,故得4p2=4,p=1.
所以抛物线的方程为: 5分
(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a
联立方程组
消去x得y2 2my 2a=0
∴ ① 7分
设直线PR与x轴交于点M(b,0),则可设直线PR方程为x=ny+b,并设R(x3,y3),
同理可知 ② 9分
由①、②可得
由题意,Q为线段RT的中点,∴ y3=2y2,∴b=2a
又由(Ⅰ)知, y1y2= 4,代入①,可得
2a= 4 ∴ a=2.故b=4. 11分
∴
∴.
当n=0,即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值 14分
核心考点
试题【设是抛物线上相异两点,到y轴的距离的积为且.(1)求该抛物线的标准方程.(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与轴交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当线段AB的中点在直线上时,求直线的方程;
(2)设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求△FAB的面积.
A.x=2 | B.x=2 | C.y=2 | D.y=2 |
A.x=4 | B.y=4 | C.x=2 | D.x=-2 |
在平面直角坐标系xOy中,抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足(如图所示).
(Ⅰ)求得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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