题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,.
(Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;
(Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若存在,求出的个数?如果不存在,请说明理由.
答案
解析
把用代换,求出中点的坐标,用表示,若存在以为底边的等腰三角形,也就是,整理得关于的方程,解方程就得到满足条件的三角形及其个数.
(Ⅰ)设直线的方程为,点、的坐标分别为.
由消,得.
由,得,.
∵,∴,∴.
∴,
∴或.
∴或,∵恒成立. ∴.
∴直线的方程为 ,∴直线过定点. ………………………………(6分)
(Ⅱ)假设存在以为底边的等腰三角形,由第(Ⅰ)问可知,将用代换得
直线的方程为.设点、的坐标分别为.
由消,得.
∴ .
∵的中点坐标为,即,
∵,∴的中点坐标为.
由已知得,即.
设,则,
在上是增函数.
又,在内有一个零点.
函数在上有且只有一个零点,即方程在上有唯一实根.
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.……………………………………………………… (13分)
核心考点
试题【(本小题满分13分)如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,.(Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;(Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B.(2,0) | C.(4,0) | D. |
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