题目

题型：期末题难度：来源：

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当x₁=1，x₂=﹣3时，求直线l的方程．

答案

解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x²，即 ，
∴ ， ∴焦点为 
（1）直线l的斜率不存在时，显然有x₁+x₂=0
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b 即直线l：y=kx+b
由已知得：   
即l的斜率存在时，不可能经过焦点
所以当且仅当x₁+x₂=0时，直线l经过抛物线的焦点F
（Ⅱ）当x₁=1，x₂=﹣3时，直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b
则由（Ⅰ）得：  
所以直线l的方程为 ，即x﹣4y+41=0