题目

题型：山东省月考题难度：来源：

已知曲线C上的动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=﹣1的距离大1．
（I）求曲线C的方程；
（II）过点F（2，0）且倾斜角为的直线与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：|FP|﹣|FP|·cos2α为定值，并求出此定值

答案

   （I）解：设动点P（x，y），动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=﹣1的距离多1，
即动点P到点F（2，0）的距离等于它到直线x=﹣2的距离
∴两边平方（x﹣2）²+y2=（x+2）²
化简可得：y²=8x
（II）证明：如图，作AC⊥l，BD⊥l，
设A，B的横坐标分别为x_A，x_B
则=|FA|cosα+4，解得
同理|FB|=4﹣|FB|cosα，解得
记m与AB的交点为E，
则|FE|=|FA|﹣|AE|===
∴
故
即FP|﹣|FP|cos2α为定值，定值为8．