题目
题型:湖南难度:来源:
(I)证明:点P(x0,0)的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同;
(II)试问:点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由.
答案
(x1,y1)、(x2,y2)(x1≠x2),则y21=4x1,y22=4x2,
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1≠x2,所以y1+y2≠0、
设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm,ym),则
k=
y1-y2 |
x1-x2 |
4 |
y1+y2 |
2 |
ym |
ym |
2 |
又点P(x0,0)在直线l上,所以-ym=-
ym |
2 |
而ym≠0,于是xm=x0-2.故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB所在直线的方程是y-ym=k(x-xm),代入y2=4x中,
整理得k2x2+2[k(ym-kxm)-2]x+(ym-kxm)2=0.(•)
则x1、x2是方程的两个实根,且x1•x2=
(ym-kxm)2 |
k2 |
设点P的“相关弦”AB的弦长为l,则l2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4(1+k2)(xm2-x1x2)
=4(1+
4 | ||
|
x | 2m |
(ym-
| ||||
|
=(4+ym2)(4xm-ym2)=-ym4+4ym2(xm-1)+16xm
=4(xm+1)2-[ym2-2(xm-1)]2=4(x0-1)2-[ym2-2(x0-3)]2.
因为0<ym2<4xm=4(xm-2)=4x0-8,于是设t=ym2,则t∈(0,4x0-8).
记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,则2(x0-3)∈(0,4x0-8),所以当t=2(x0-3),即ym2=2(x0-3)时,
l有最大值2(x0-1).
若2<x0<3,则2(x0-3)≤0,g(t)在区间(0,4x0-8)上是减函数,
所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.
综上所述,当x0>3时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值
为2(x0-1);当2<x0≤3时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
核心考点
试题【若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0)存在】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
FA |
FB |
FC |
0 |
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FC |
3 |
4 |
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