题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。
（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（2）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=，求此时抛物线的方程；
（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x²=2py（p＞0）上，其中，点C满足（O为坐标原点），若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意设
由得，则
所以
因此直线MA的方程为　　　　　　　　
直线MB的方程为
所以 ①
②
由①、②得　　
因此，即
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。
（2）解：由（1）知，当x₀=2时，将其代入①、②并整理得：
 ，
所以，x₁、x₂是方程的两根，
因此
又
所以
由弦长公式得
又，
所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为或。
（3）解：设D（x₃，y₃），由题意得C（x₁+ x₂，y₁+ y₂），
则CD的中点坐标为 　
设直线AB的方程为 　
由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，
代入得 　
若D（x₃，y₃）在抛物线上，则
因此，x₃=0或x₃=2x₀
即D（0，0）或
（i）当x₀=0时，则，此时，点M（0，-2p）适合题意；
（ii）当，对于D（0，0），此时
又，AB⊥CD，
所以
即矛盾
对于，因为此时直线CD平行于y轴，
又
所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意的M点
综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意。