题目

题型：不详难度：来源：

已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y²=2px（p＞0）于B、C两点，且|BC|=2

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．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）直线l方程为y=x-2，将其代入y²=2px，并整理，得
x²-2（2+p）x+4=0…①，
∵p＞0，∴△=4（2+p）²-16＞0，
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），∴x₁+x₂=4+2p，x₁•x₂=4，
∵|BC|=2

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，而|BC|=

1+k2

|x₁-x₂|，
∴2

2

p2+4p

=2

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，解得p=1，∴抛物线方程y²=2x．
（2）假设在抛物线y²=2x上存在点D（x₃，y₃），使得|DB|=|DC|成立，记线段BC中点为E（x₀，y₀），
则|DB|=|DC|⇔DE⊥BC⇔k_DE=-

1

k1

=-1，
当p=1时，①式成为x²-6x+4=0，
∴x₀₌

x1+x2

2

=3，y₀=x₀-2=1，
∴点D（x₃，y₃）应满足

y32=2x3 y3-1 x3-3 =-1

，解得

x3=2 y3=2

或

x3=8 y3=-4

∴存在点D（2，2）或（8，-4），使得|DB|=|DC|成立．