题目

题型：不详难度：来源：

已知两点M（-1，0）、N（1，0），动点P（x，y）满足|

MN

|-|

NP

|-

MN

-

MP

=0，
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）假设P₁、P₂是轨迹C上的两个不同点，F（1，0），λ∈R，

FP1

=λ

FP2

，求证：

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=1．

答案

解 （1）|

MN

|=2；则

MP

=(x+1，y)，

NP

=(x-1，y)
由|

MN

|•|

NP

|-

MN

•

MP

=0，则2

(x-1)2+y2

-2(x+1)=0，
化简整理得y²=4x
（2）由

FP1

=λ•

FP2

，得F、P₁、P₂三点共线，
设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），直线P₁P₂的方程为：y=k（x-1）
代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0则x₁•x₂=1，x₁+x₂=

2k2+4

k2

∴

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+(x1+x2)+1

=1
当P₁P₂垂直x轴时，结论照样成立．