题目
题型:东城区模拟难度:来源:
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(1)求该抛物线的方程;
(2)设M(x0,y0)为抛物线上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,求证:PQ恒过定点(x0+2,-y0).
(3)直线x+my+1=0与抛物线交于E,F两点,在抛物线上是否存在点N,使得△NEF为以EF为斜边的直角三角形.
答案
p |
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所以抛物线的方程为 y2=2x.
(2)由题意知直线PQ与x轴不平行,设PQ所在直线方程为x=my+n,代入y2=2x中得 y2-2my-2n=0.
所以y1+y2=2m,y1y=-2n,其中y1,y2分别是P,Q的纵坐标,
因为MP⊥MQ,所以kMP•kMQ=-1.
即
y1-y0 |
x1-x0 |
y2-y0 |
x2-x0 |
y1•y2+(y1+y2)y0+y02+4=0,(-2n)+2my0+2x0+4=0,即n=my0+x0+2.
所以直线PQ的方程为x=my+my0+x0+2,
即x=m(y+y0)+x0+2,它一定过定点(x0+2,-y0).
(3)假设N(x0,y0)为满足条件的点,则由(2)知,点(x0+2,-y0)在直线x+my+1=0上,
所以x0+2-my0+1=0,(x0,y0)是方程组
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消去x得y2-2my+6=0,△=4m2-24≥0所以存在点N满足条件.
核心考点
试题【已知顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(12,m),A点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程;(2)设M(x0,y0)为抛物线上的一个】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
OC |
OM |
ON |
(Ⅰ)求证:
OA |
OB |
(Ⅱ)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m∈R),使得过P点的直线交抛物线于D、E两点,并以该弦DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.