题目
题型:福建模拟难度:来源:
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)命题:“过椭圆
x2 |
25 |
y2 |
16 |
|AB| |
|F1M| |
10 |
3 |
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于抛物线的一般性命题(不必证明).
答案
∵抛物线C过点(1,2),
∴22=2p,解得p=2.
∴抛物线C的方程为:y2=4x.
(Ⅱ)关于抛物线C的类似命题为:过抛物线y2=4x的焦点F(1,0)作与x轴不垂直的任意直线l,
交抛物线线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则
|AB| |
|FM| |
证明如下:
设直线AB的方程为x=ty+1,t≠0,
代入y2=4x,消去x,得y2-4ty-4=0.
∵△=16t2+16>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,
x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,
∴线段AB中点P的坐标为(2t2+1,2t),
AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t(x-2t2-1),
令y=0,解得x=2t2+3,
即M(2t2+3,0),
∴|FM|=2t2+2,
由抛物线定义知,|AB|=x1+x2+2=4t2+4,
∴
|AB| |
|FM| |
(Ⅲ)过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l,交抛物线线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交对称轴于点M,则
|AB| |
|FM| |
核心考点
试题【已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴上,且过点(1,2).(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)命题:“过椭圆x225+y216=1的一个焦点F1作与x轴不垂直的】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线方程;
(2)轴上是否存在定点M,使过M的动直线与抛物线交于P,Q两点,满足∠POQ=90°?证明你的结论.
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅰ)求曲线D的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的△APM?①点M在椭圆C上;②点O为APM的重心.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形ABC的三点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心G的坐标为(
x1+x2+x3 |
3 |
y1+y2+y3 |
3 |
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ) 设点A(x1,y1),B(x2,y2)(yi≤0,i=1,2)是抛物线上的两点,∠APB的角平分线与x轴垂直,求△PAB的面积最大时直线AB的方程.