已知抛物线关于x轴对称,它的顶点是坐标原点,点P(2,4),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的三点. (Ⅰ)求该抛物线的方程; (Ⅱ)若直线PA与PB的倾斜角互补,求线段AB中点的轨迹方程; (Ⅲ)若AB⊥PA,求点B的纵坐标的取值范围. |
(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px, ∵点P(2,4)在抛物线上∴42=2p×2,得p=4, 故所求抛物线的方程是y2=8x. (II)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB 则 kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1), ∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,得y12=8x1 (1),y22=8x2 (2), ∴=-,∴y1+4=-(y2+4),∴y1+y2 =-8. 设AB的中点坐标为(x,y),则 y==-4,x=== =. 由题意知,y1<0,y2<0, (-y1)+(-y2)=8>2,∴y1y2<16,∴>=2,即 x>2, 故线段AB中点的轨迹方程为 y=-4( x>2 ). (III)由题意得 A(,y1)、B(,y2),故kAP ==, 由于AB⊥AP,∴kAB =-().又 KAB==, ∴y12+(y2+4)y1+4y2+64=0. 由△≥0,解得y2≤-12或y2≥20,故点B的纵坐标的取值范围是 (-∞,12]∪[20,+∞).
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核心考点
试题【已知抛物线关于x轴对称,它的顶点是坐标原点,点P(2,4),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的三点.(Ⅰ)求该抛物线的方程;(Ⅱ)若直线PA与PB的】;主要考察你对
抛物线等知识点的理解。
[详细]
举一反三
抛物线y2=2px过点M(2,2),则点M到抛物线焦点的距离为______. |
抛物线y=-焦点坐标是( )A.(0,) | B.(0,-) | C.(0,2) | D.(0,-2) | 已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一动点M,设M到抛物线C外一定点A(6,12)的距离为d1,M到定直线l:x=-p的距离为d2,若d1+d2的最小值为14,则抛物线C的方程为______. | 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点P(m,3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为( )A.x2=8y | B.x2=4y | C.x2=-4y | D.x2=-8y |
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