题目

题型：期末题难度：来源：

已知双曲线C的方程为x²﹣=1，点A（m，2m）和点B（n，﹣2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足=λ（其中λ∈[，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．

答案

解：（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，﹣2n），设P（x，y）
由=λ，得
，
故P点的坐标为（，），
将P点的坐标代入x²﹣=1，化简得，mn=．
（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=．
又|OA|=m，|OB|=，
所以S_△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn==，
记S（λ）=，λ∈[，3]）．
则S（λ）在λ∈[，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．
所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值．
所以△AOB面积的取值范围是[2，]．